Tujuan:
- Memahami apa itu skalar, vektor, dan matriks
- Mengerti cara melakukan operasi dasar pada matriks (penjumlahan, perkalian dengan skalar, perkalian matriks)
- Mengetahui konsep identitas, invers, transpose, dan determinan pada matriks
- Memahami konsep eigenvalues dan eigenvectors
1. Skalar, Vektor, dan Matriks
- Skalar: hanya satu bilangan, misalnya 5, -3, 2,7
- Vektor: kumpulan bilangan yang disusun dalam baris (vektor baris) atau kolom (vektor kolom).
Contoh vektor kolom:
Contoh vektor baris:
- Matriks: kumpulan beberapa bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.
Misalnya matriks 2 baris, 3 kolom (2x3):
2. Penjumlahan Matriks
Jika dua matriks memiliki ukuran yang sama (misalnya keduanya 2x3), kita bisa menjumlahkan elemen per elemen.
Rumus:
jika C = A + B, maka untuk setiap i dan j,
Contoh (A dan B 2x2):
maka
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika kita mengalikan matriks A dengan bilangan skalar k, setiap elemen matriks itu dikalikan dengan k.
Misalnya: k⋅A
Contoh:
Hasil perkalian matriks hanya bisa jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.
Misal A ukurnya m x n, B ukurnya n x r, maka hasilnya C berukuran m x r.
Rumus elemen: untuk setiap i (baris) dan j (kolom),
Contoh (2x2 × 2x2):
Catatan: umumnya AB ≠ BA (tidak komutatif), bahkan kadang AB ada tapi BA tidak.
- Identitas matriks (I)
I adalah matriks khusus seperti “nol di semua tempat” kecuali diagonal utama (1 pada posisi i,i).
Misalnya identitas 2x2 dan 3x3:
Perkalian dengan identitas tidak mengubah matriks: AI=IA=A (asal ukurannya cocok).
- Invers matriks
Matriks A dikatakan invertible (non-singular) jika ada matriks B sehingga AB=BA=I.
Hanya matriks tertentu yang punya invers. Jika det(A) = 0, maka A tidak punya invers.
Contoh 2x2 inverse:
atau
adj(A) adalah transpose dari matriks kofaktor.
6. Determinan
Determinan adalah sebuah angka yang memberi tahu apakah suatu matriks bisa dibalik/invers dan seberapa “besar” pengaruh transformasinya.
Untuk matriks 2x2:
Syarat invertibel:
Jika det(A) ≠ 0 → A invertible (punya invers)
Jika det(A) = 0 → A singular (tidak punya invers)
Hubungan singkat: semakin besar det(A), transformasi matriksnya bisa “mengubah skala” lebih kuat.
Untuk matriks 3×3:
Pilih baris/kolom, lalu “pecah” jadi determinan 2×2 (minor) dengan tanda
Intinya: 3×3 dihitung lewat kombinasi 2×2.
Teorema cepat:
det(A^T) = det(A)
Jika A segitiga (upper/lower triangular), det(A) = hasil kali diagonalnya
Ada baris/kolom semua nol atau dua baris sama → det(A) = 0
7. Transpose
Transpose artinya menukar baris dan kolom.
Simbolnya A^T.
Contoh:
Aturan penting:
(A^T)^T = A
(αA)^T = α A^T
(A+B)^T = A^T + B^T
(AB)^T = B^T A^T (ini perlu diingat karena urutannya penting)
9. Eigenvalues dan Eigenvectors
Ide inti: cari sebuah skalar λ (eigenvalue) dan vektor x (eigenvector) sedemikian rupa sehingga
Artinya, jika kita mengalikan vektor x dengan matriks A, hasilnya hanya skalar kelipatan dari x.
Contoh (matriks diagonal):
Eigenvaluesnya adalah λ1 = 4 dengan eigenvector x1 = (1,0), dan λ2 = -3 dengan eigenvector x2 = (0,1).
0 komentar:
Posting Komentar
Berkomentarlah dengan baik dan sopan ya ^^